Vectơ là một nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 10. Bên cạnh các khái niệm thường gặp như Vectơ là gì? Các đặc điểm của vectơ ra sao? Thì những nội dung như hai vectơ cùng phương khi nào? Điều kiện để hai vectơ cùng phương? cũng là những nội dung thường xuyên xuất hiện trong bài học. Vậy, để hiểu rõ hơn những nội dung nói trên. Chúng ta hãy cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu bài viết sau đây.
1. Nhắc lại một số khái niệm
- Đường thẳng không bị giới hạn về hai phía
Ví dụ: Đường thẳng AB là đường thẳng đi qua hai điểm A và B nhưng không bị giới hạn bởi hai đầu mút
- Đoạn thẳng bị giới hạn về hai phía
Ví dụ: Đoạn thẳng AB là đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm A và điểm B.
- Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, trong hai đầu mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ đâu là điểm đầu, đâu là điểm cuối.
Ví dụ: Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là . Vectơ này có hướng từ A đến B. Đôi khi để thuận tiện, ta có thể kí hiệu bằng chữ in thường có mũi tên phía trên như , , ...
- Vectơ - không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Kí hiệu:
- Nếu thì đường thẳng AB được gọi là giá của . Hay nói cách khác, giá của là đường thẳng đi qua hai điểm A và B
2. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
- Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau
Ví dụ: Trong hình chữ nhật ABCD, ta có: AB // DC nên là hai vectơ cùng phương
- Hai vectơ cùng phương với nhau thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng
Ví dụ: Trong hình chữ nhật ABCD có là hai vectơ cùng phương cùng hướng. Còn là hai vectơ cùng phương ngược hướng.
3. Các dạng bài toán liên quan đến điều kiện để hai vectơ cùng phương
3.1. Hai vectơ cùng phương khi hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau
Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD), có CD = 2.AB. Gọi Q là trung điểm của CD. Hỏi có phải là hai vectơ cùng phương hay không?
Giải
- Ta có: AB // CD (gt), mà Q CD AB // DQ (1)
- Vì CD = 2.AB AB =
Mà Q là trung điểm của CD nên DQ = QC =
AB = DQ (2)
Từ (1) và (2) ABQD là hình bình hành
AD // BQ
Vậy là hai vectơ cùng phương
3.2. Hai vectơ cùng phương khi tồn tại một số k khác 0 sao cho vectơ này bằng k lần vectơ kia
- Hai vectơ , cùng phương
- Nếu k > 0 thì và là hai vectơ cùng phương cùng hướng
- Nếu k < 0 thì và là hai vectơ cùng phương ngược hướng
Ví dụ 1: Cho = (3;5) và = (6;10). Hỏi và có phải là hai vectơ cùng phương không? Tại sao?
Giải
Ta có: = (6; 10) = 2.(3; 5) = 2.
Vậy và là hai vectơ cùng phương
Ví dụ 2: Cho = (2; 1) và = (-6; m). Với giá trị nào của m thì và là hai vectơ cùng phương?
Giải
và là hai vectơ cùng phương
(-6; m) = k.(2; 1)
Vậy, với m = -3 thì và là hai vectơ cùng phương
Ví dụ 3: Cho = (2; -3); = (1; 2); = (2; -24). Hãy tính và cho biết và có phải là hai vectơ cùng phương hay không? Tại sao?
Giải
- Ta có: 2 = 2.(2; -3) = (4; -6)
Và 3 = 3.(1; 2) = (3; 6)
Nên 2 - 3 = (4 - 3; -6 - 6) = (1; -12)
Vậy, = (1; -12)
- Ta có: = (2; -24) = 2.(1; -12) = 2.
Vậy và là hai vectơ cùng phương
Ví dụ 4: Cho = (-1; 3); = (2; a). Hãy tìm tọa độ của biết và cùng phương với = (-2; 1)
Giải
- Theo đề bài:
Ta có: 3. = 3.(2; a) = (6; 3a)
Và 2. = 2.(-1; 3) = (-2; 6)
Nên = 3. - 2. = (8; 3a - 6)
- Lại có và là hai vectơ cùng phương nên k 0 : = k.
Khi đó, = (8; 3. - 6) = (8; -4)
Vậy, để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì = (8; -4)
4. Bài tập vận dụng điều kiện để hai vectơ cùng phương
Bài 1: Cho tam giác ABC. Khi đó
- và là hai vectơ cùng phương
- và là hai vectơ cùng phương
- và là hai vectơ cùng phương
- A, B, C đều sai
Chọn câu D
Bài 2: Cho các vectơ sau = (2; -5); = (3; 1); = (-6; -2). Trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là
- và là hai vectơ cùng phương
- và là hai vectơ cùng phương
- và là hai vectơ cùng phương
- A, B, C đều sai
Hướng dẫn: Ta có = (-6; -2) = -2.(3; 1) = -2.
Vậy và là hai vectơ cùng phương
Chọn câu C
Bài 3: Cho hình thang ABCD với AB và CD là hai đáy. Trong các phát biểu sau, phát biểu sai là
- và là hai vectơ cùng phương
- và là hai vectơ cùng phương ngược hướng
- và là hai vectơ cùng phương
- và là hai vectơ cùng phương ngược hướng
Chọn câu B
Bài 4: Cho hai vectơ sau = (x; -2); = (3; 1). Hỏi với giá trị nào của x thì và là hai vectơ cùng phương khi
- x = 6
- x = -6
- x = -4
- Chưa thể kết luận về giá trị của x
Hướng dẫn: và là hai vectơ cùng phương
Chọn câu B
Bài 5: Cho tam giác ABC. M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó cùng phương với
ĐÁP ÁNHướng dẫn: Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó, MN // BC. Vậy, và là hai vectơ cùng phương.
Chọn câu C
Bài 6: Cho = (2; -3); = (1; -2); = (3; 2); = (3; -4). Hãy cho biết khi đó
- Cùng phương, cùng hướng với
- Cùng phương, ngược hướng với
- Cùng phương, cùng hướng với
- Cùng phương, ngược hướng với
Hướng dẫn: Ta có
Khi đó,
Hay
Mà k = -1 < 0 nên và là hai vectơ cùng phương, ngược hướng
Chọn câu D
Bài 7: Nếu và với k 0; h 0. Khi đó, và là
- Hai vectơ cùng phương và
- Hai vectơ cùng phương và
- Hai vectơ không cùng phương
- Hai vectơ cùng phương và
Hướng dẫn: Ta có
Chọn câu A
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Khi đó
- và là hai vectơ cùng phương
- và là hai vectơ cùng phương
- và là hai vectơ cùng phương
- và là hai vectơ cùng phương
Chọn câu B
Trên đây là một số nội dung kiến thức về điều kiện để hai vectơ cùng phương và một số bài tập liên quan. Hy vọng các em có thể nắm bắt để vận dụng vào việc giải quyết các bài toán liên quan.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
