Phương trình đường thẳng

Vectơ u → ≠ 0 → {displaystyle {vec {u}}neq {vec {0}}} ${displaystyle {vec {u}}neq {vec {0}}}$ và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được xem là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Khi đó, với k ≠ 0 {displaystyle kneq 0} ${displaystyle kneq 0}$ , vectơ k u → {displaystyle k{vec {u}}} ${displaystyle k{vec {u}}}$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó

Vectơ n → ≠ 0 → {displaystyle {vec {n}}neq {vec {0}}} ${displaystyle {vec {n}}neq {vec {0}}}$ và có giá vuông góc với đường thẳng được xem là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Khi đó, với k ≠ 0 {displaystyle kneq 0} ${displaystyle kneq 0}$ , vectơ k n → {displaystyle k{vec {n}}} ${displaystyle k{vec {n}}}$ cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó

Trong mặt phẳng tọa độ O x y {displaystyle Oxy} ${displaystyle Oxy}$ , đường thẳng d {displaystyle d} ${displaystyle d}$ có vectơ chỉ phương a → = ( a , b ) {displaystyle {vec {a}}=(a,b)} ${displaystyle {vec {a}}=(a,b)}$ thì có vectơ pháp tuyến là n → = ( − b , a ) {displaystyle {vec {n}}=(-b,a)} ${displaystyle {vec {n}}=(-b,a)}$ hay n → = ( b , − a ) {displaystyle {vec {n}}=(b,-a)} ${displaystyle {vec {n}}=(b,-a)}$ . Ngược lại, đường thẳng d {displaystyle d} ${displaystyle d}$ có vectơ pháp tuyến n → = ( a , b ) {displaystyle {vec {n}}=(a,b)} ${displaystyle {vec {n}}=(a,b)}$ thì có vectơ chỉ phương là a → = ( − b , a ) {displaystyle {vec {a}}=(-b,a)} ${displaystyle {vec {a}}=(-b,a)}$ hay a → = ( b , − a ) {displaystyle {vec {a}}=(b,-a)} ${displaystyle {vec {a}}=(b,-a)}$

Trong không gian với hệ trục tọa độ O x y z {displaystyle Oxyz} ${displaystyle Oxyz}$ , đường thẳng d {displaystyle d} ${displaystyle d}$ có vectơ n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) {displaystyle {vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1},C_{1})} ${displaystyle {vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1},C_{1})}$ và vectơ n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) {displaystyle {vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2},C_{2})} ${displaystyle {vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2},C_{2})}$ là 2 vectơ pháp tuyến không cùng phương thì có vectơ chỉ phương là tích có hướng giữa n 1 → {displaystyle {vec {n_{1}}}} ${displaystyle {vec {n_{1}}}}$ với n 2 → {displaystyle {vec {n_{2}}}} ${displaystyle {vec {n_{2}}}}$ hoặc giữa n 2 → {displaystyle {vec {n_{2}}}} ${displaystyle {vec {n_{2}}}}$ với n 1 → {displaystyle {vec {n_{1}}}} ${displaystyle {vec {n_{1}}}}$ .

Trong mặt phẳng tọa độ O x y {displaystyle Oxy} ${displaystyle Oxy}$ , cho đường thẳng d {displaystyle d} ${displaystyle d}$ đi qua điểm M ( x 0 , y 0 ) {displaystyle M(x_{0},y_{0})} ${displaystyle M(x_{0},y_{0})}$ và nhận u → = ( u 1 , u 2 ) {displaystyle {vec {u}}=(u_{1},u_{2})} ${displaystyle {vec {u}}=(u_{1},u_{2})}$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d {displaystyle d} ${displaystyle d}$ là { x = x 0 + u 1 t y = y 0 + u 2 t {displaystyle {begin{cases}x=x_{0}+u_{1}ty=y_{0}+u_{2}tend{cases}}} ${displaystyle {begin{cases}x=x_{0}+u_{1}ty=y_{0}+u_{2}tend{cases}}}$ với t {displaystyle t} ${displaystyle t}$ được gọi là tham số. Với mỗi giá trị t ∈ R {displaystyle tin R} ${displaystyle tin R}$ ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Nếu u 1 ≠ 0 {displaystyle u_{1}neq 0} ${displaystyle u_{1}neq 0}$ và u 2 ≠ 0 {displaystyle u_{2}neq 0} ${displaystyle u_{2}neq 0}$ , từ phương trình tham số ta khử tham số t {displaystyle t} ${displaystyle t}$ , ta được phương trình chính tắc x − x 0 u 1 = y − y 0 u 2 {displaystyle {x-x_{0} over u_{1}}={y-y_{0} over u_{2}}} ${displaystyle {x-x_{0} over u_{1}}={y-y_{0} over u_{2}}}$ .

Đường thẳng song song hoặc vuông góc với các trục tọa độ thì không có phương trình chính tắc.

Phương trình a x + b y + c = 0 {displaystyle ax+by+c=0} ${displaystyle ax+by+c=0}$ với a 2 + b 2 ≠ 0 {displaystyle a^{2}+b^{2}neq 0} ${displaystyle a^{2}+b^{2}neq 0}$ được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng, khi đó n → = ( a , b ) {displaystyle {vec {n}}=(a,b)} ${displaystyle {vec {n}}=(a,b)}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Đường thẳng b y + c = 0 {displaystyle by+c=0} ${displaystyle by+c=0}$ ( a = 0 ) {displaystyle (a=0)} ${displaystyle (a=0)}$ vuông góc với trục O y {displaystyle Oy} ${displaystyle Oy}$ tại điểm A ( 0 ; − c b ) {displaystyle A(0;-{c over b})} ${displaystyle A(0;-{c over b})}$ .

Đường thẳng a x + c = 0 {displaystyle ax+c=0} ${displaystyle ax+c=0}$ ( b = 0 ) {displaystyle (b=0)} ${displaystyle (b=0)}$ vuông góc với trục O x {displaystyle Ox} ${displaystyle Ox}$ tại điểm B ( − c a ; 0 ) {displaystyle B(-{c over a};0)} ${displaystyle B(-{c over a};0)}$ .

Đường thẳng a x + b y = 0 {displaystyle ax+by=0} ${displaystyle ax+by=0}$ ( c = 0 ) {displaystyle (c=0)} ${displaystyle (c=0)}$ đi qua gốc tọa độ O ( 0 ; 0 ) {displaystyle O(0;0)} ${displaystyle O(0;0)}$ .

Đường thẳng đi qua 2 điểm A ( x 0 ; 0 ) {displaystyle A(x_{0};0)} ${displaystyle A(x_{0};0)}$ ( x 0 ≠ 0 {displaystyle x_{0}neq 0} ${displaystyle x_{0}neq 0}$ ) và B ( 0 ; y 0 ) {displaystyle B(0;y_{0})} ${displaystyle B(0;y_{0})}$ ( y 0 ≠ 0 {displaystyle y_{0}neq 0} ${displaystyle y_{0}neq 0}$ ) thì có thể được viết dưới dạng phương trình x x 0 + y y 0 = 1 {displaystyle {x over x_{0}}+{y over y_{0}}=1} ${displaystyle {x over x_{0}}+{y over y_{0}}=1}$ .

Cho đường thẳng d {displaystyle d} ${displaystyle d}$ cắt trục O x {displaystyle Ox} ${displaystyle Ox}$ tại M {displaystyle M} ${displaystyle M}$ và tia M t {displaystyle Mt} ${displaystyle Mt}$ là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục O x {displaystyle Ox} ${displaystyle Ox}$ mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia M t {displaystyle Mt} ${displaystyle Mt}$ hợp với tia M x {displaystyle Mx} ${displaystyle Mx}$ một góc α {displaystyle alpha } ${displaystyle alpha }$ . Đặt k = tan ⁡ α {displaystyle k=tan alpha } ${displaystyle k=tan alpha }$ , khi đó k {displaystyle k} ${displaystyle k}$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng d {displaystyle d} ${displaystyle d}$ .

Đường thẳng có vecto chỉ phương u → = ( u 1 , u 2 ) {displaystyle {vec {u}}=(u_{1},u_{2})} ${displaystyle {vec {u}}=(u_{1},u_{2})}$ thì có hệ số góc k = u 2 u 1 {displaystyle k={u_{2} over u_{1}}} ${displaystyle k={u_{2} over u_{1}}}$ .

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến n → = ( a , b ) {displaystyle {vec {n}}=(a,b)} ${displaystyle {vec {n}}=(a,b)}$ thì có hệ số góc k = − a b {displaystyle k=-{a over b}} ${displaystyle k=-{a over b}}$ .

Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.

Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là − 1 {displaystyle -1} ${displaystyle -1}$ .

Cho 2 đường thẳng: ( D ) {displaystyle (D)} ${displaystyle (D)}$ A x + B y + C = 0 {displaystyle Ax+By+C=0} ${displaystyle Ax+By+C=0}$ và ( d ) {displaystyle (d)} ${displaystyle (d)}$ a x + b y + c = 0 {displaystyle ax+by+c=0} ${displaystyle ax+by+c=0}$ .

( D ) {displaystyle (D)} ${displaystyle (D)}$ cắt ( d ) {displaystyle (d)} ${displaystyle (d)}$ ⇔ {displaystyle Leftrightarrow } ${displaystyle Leftrightarrow }$ A a ≠ B b {displaystyle {A over a}neq {B over b}} ${displaystyle {A over a}neq {B over b}}$ khi đó tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình { A x + B y + C = 0 a x + b y + c = 0 {displaystyle {begin{cases}Ax+By+C=0ax+by+c=0end{cases}}} ${displaystyle {begin{cases}Ax+By+C=0ax+by+c=0end{cases}}}$

( D ) {displaystyle (D)} ${displaystyle (D)}$ / / {displaystyle //} ${displaystyle //}$ ( d ) {displaystyle (d)} ${displaystyle (d)}$ ⇔ {displaystyle Leftrightarrow } ${displaystyle Leftrightarrow }$ A a = B b ≠ C c {displaystyle {A over a}={B over b}neq {C over c}} ${displaystyle {A over a}={B over b}neq {C over c}}$

( D ) {displaystyle (D)} ${displaystyle (D)}$ ≡ {displaystyle equiv } ${displaystyle equiv }$ ( d ) {displaystyle (d)} ${displaystyle (d)}$ ⇔ {displaystyle Leftrightarrow } ${displaystyle Leftrightarrow }$ A : B : C = a : b : c {displaystyle A:B:C=a:b:c} ${displaystyle A:B:C=a:b:c}$

Cho đường thẳng ( D ) {displaystyle (D)} ${displaystyle (D)}$ và ( d ) {displaystyle (d)} ${displaystyle (d)}$ cắt nhau tại điểm M {displaystyle M} ${displaystyle M}$ . Gọi n 1 → = ( A 1 , B 1 ) {displaystyle {vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1})} ${displaystyle {vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1})}$ là vectơ pháp tuyến của ( D ) {displaystyle (D)} ${displaystyle (D)}$ và n 2 → = ( A 2 , B 2 ) {displaystyle {vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2})} ${displaystyle {vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2})}$ là vectơ pháp tuyến của ( d ) {displaystyle (d)} ${displaystyle (d)}$ . Gọi α {displaystyle alpha } ${displaystyle alpha }$ là góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng, khi đó:

cos ⁡ α = | n 1 → . n 2 → | | n 1 → | | n 2 → | = | A 1 A 2 + B 1 B 2 | ( A 1 2 + B 1 2 ) ( A 2 2 + B 2 2 ) {displaystyle cos alpha ={leftvert {vec {n_{1}}}.{vec {n_{2}}}rightvert over leftvert {vec {n_{1}}}rightvert leftvert {vec {n_{2}}}rightvert }={leftvert A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}rightvert over {sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2})}}}} ${displaystyle cos alpha ={leftvert {vec {n_{1}}}.{vec {n_{2}}}rightvert over leftvert {vec {n_{1}}}rightvert leftvert {vec {n_{2}}}rightvert }={leftvert A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}rightvert over {sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2})}}}}$

2 đường thẳng vuông góc thì α = 90 ∘ {displaystyle alpha =90^{circ }} ${displaystyle alpha =90^{circ }}$ .

2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì α = 0 ∘ {displaystyle alpha =0^{circ }} ${displaystyle alpha =0^{circ }}$ .

Cách tính trên cũng đúng khi sử dụng vectơ chỉ phương.

Cho đường thẳng ( d ) {displaystyle (d)} ${displaystyle (d)}$ a x + b y + c = 0 {displaystyle ax+by+c=0} ${displaystyle ax+by+c=0}$ và M ( x 0 , y 0 ) ∉ ( d ) {displaystyle M(x_{0},y_{0})not in (d)} ${displaystyle M(x_{0},y_{0})not in (d)}$ , khoảng cách từ điểm M {displaystyle M} ${displaystyle M}$ đến ( d ) {displaystyle (d)} ${displaystyle (d)}$ được tính theo công thức d ( M , d ) = | a x 0 + b y 0 + c | a 2 + b 2 {displaystyle d(M,d)={frac {leftvert ax_{0}+by_{0}+crightvert }{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} ${displaystyle d(M,d)={frac {leftvert ax_{0}+by_{0}+crightvert }{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

Cho đường thẳng ( d ) {displaystyle (d)} ${displaystyle (d)}$ a x + b y + c = 0 {displaystyle ax+by+c=0} ${displaystyle ax+by+c=0}$ và 2 điểm M ( x M , y M ) {displaystyle M(x_{M},y_{M})} ${displaystyle M(x_{M},y_{M})}$ , N ( x N , y N ) {displaystyle N(x_{N},y_{N})} ${displaystyle N(x_{N},y_{N})}$ không nằm trên ( d ) {displaystyle (d)} ${displaystyle (d)}$ . Xét các biểu thức m = a x M + b y M + c {displaystyle m=ax_{M}+by_{M}+c} ${displaystyle m=ax_{M}+by_{M}+c}$ và n = a x N + b y N + c {displaystyle n=ax_{N}+by_{N}+c} ${displaystyle n=ax_{N}+by_{N}+c}$ , khi đó M {displaystyle M} ${displaystyle M}$ và N {displaystyle N} ${displaystyle N}$ nằm cùng phía với ( d ) {displaystyle (d)} ${displaystyle (d)}$ khi m {displaystyle m} ${displaystyle m}$ và n {displaystyle n} ${displaystyle n}$ cùng dấu, khác phía khi m {displaystyle m} ${displaystyle m}$ và n {displaystyle n} ${displaystyle n}$ trái dấu.

Trong không gian với hệ trục tọa độ O x y z {displaystyle Oxyz} ${displaystyle Oxyz}$ , cho đường thẳng d {displaystyle d} ${displaystyle d}$ đi qua điểm M ( x 0 , y 0 , z 0 ) {displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})} ${displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})}$ và nhận u → = ( u 1 , u 2 , u 3 ) {displaystyle {vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})} ${displaystyle {vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d {displaystyle d} ${displaystyle d}$ là { x = x 0 + u 1 t y = y 0 + u 2 t z = z 0 + u 3 t {displaystyle {begin{cases}x=x_{0}+u_{1}ty=y_{0}+u_{2}tz=z_{0}+u_{3}tend{cases}}} ${displaystyle {begin{cases}x=x_{0}+u_{1}ty=y_{0}+u_{2}tz=z_{0}+u_{3}tend{cases}}}$ với t {displaystyle t} ${displaystyle t}$ được gọi là tham số. Với mỗi giá trị t ∈ R {displaystyle tin R} ${displaystyle tin R}$ ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Nếu cả u 1 {displaystyle u_{1}} ${displaystyle u_{1}}$ , u 2 {displaystyle u_{2}} ${displaystyle u_{2}}$ , u 3 {displaystyle u_{3}} ${displaystyle u_{3}}$ đều khác 0 {displaystyle 0} ${displaystyle 0}$ , từ phương trình tham số ta khử tham số t {displaystyle t} ${displaystyle t}$ , ta được phương trình chính tắc: x − x 0 u 1 = y − y 0 u 2 = z − z 0 u 3 {displaystyle {x-x_{0} over u_{1}}={y-y_{0} over u_{2}}={z-z_{0} over u_{3}}} ${displaystyle {x-x_{0} over u_{1}}={y-y_{0} over u_{2}}={z-z_{0} over u_{3}}}$

Cho đường thẳng ( d ) {displaystyle (d)} ${displaystyle (d)}$ có vectơ chỉ phương u → = ( u 1 , u 2 , u 3 ) {displaystyle {vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})} ${displaystyle {vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}$ và ( d ′ ) {displaystyle (d')} ${displaystyle (d')}$ có vectơ chỉ phương u ′ → = ( u 1 ′ , u 2 ′ , u 3 ′ ) {displaystyle {vec {u'}}=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})} ${displaystyle {vec {u'}}=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})}$ . Gọi M ( x , y , z ) {displaystyle M(x,y,z)} ${displaystyle M(x,y,z)}$ là một điểm nằm trên ( d ) {displaystyle (d)} ${displaystyle (d)}$ và M ′ ( x ′ , y ′ , z ′ ) {displaystyle M'(x',y',z')} ${displaystyle M'(x',y',z')}$ là một điểm nằm trên ( d ′ ) {displaystyle (d')} ${displaystyle (d')}$ . Ta có:

( d ) ≡ ( d ′ ) {displaystyle (d)equiv (d')} ${displaystyle (d)equiv (d')}$ ⇔ {displaystyle Leftrightarrow } ${displaystyle Leftrightarrow }$ [ u → , u ′ → ] = [ u → , M M ′ → ] = 0 → {displaystyle [{vec {u}},{vec {u'}}]=[{vec {u}},{vec {MM'}}]={vec {0}}} ${displaystyle [{vec {u}},{vec {u'}}]=[{vec {u}},{vec {MM'}}]={vec {0}}}$

( d ) / / ( d ′ ) {displaystyle (d)//(d')} ${displaystyle (d)//(d')}$ ⇔ {displaystyle Leftrightarrow } ${displaystyle Leftrightarrow }$ [ u → , u ′ → ] = 0 → {displaystyle [{vec {u}},{vec {u'}}]={vec {0}}} ${displaystyle [{vec {u}},{vec {u'}}]={vec {0}}}$ và [ u → , M M ′ → ] ≠ 0 → {displaystyle [{vec {u}},{vec {MM'}}]neq {vec {0}}} ${displaystyle [{vec {u}},{vec {MM'}}]neq {vec {0}}}$

( d ) {displaystyle (d)} ${displaystyle (d)}$ cắt ( d ′ ) {displaystyle (d')} ${displaystyle (d')}$ ⇔ {displaystyle Leftrightarrow } ${displaystyle Leftrightarrow }$ { [ u → ; u ′ → ] ≠ 0 → M M ′ → . [ u → ; u ′ → ] = 0 {displaystyle {begin{cases}[{vec {u}};{vec {u'}}]neq {vec {0}}{vec {MM'}}.[{vec {u}};{vec {u'}}]=0end{cases}}} ${displaystyle {begin{cases}[{vec {u}};{vec {u'}}]neq {vec {0}}{vec {MM'}}.[{vec {u}};{vec {u'}}]=0end{cases}}}$

( d ) {displaystyle (d)} ${displaystyle (d)}$ và ( d ′ ) {displaystyle (d')} ${displaystyle (d')}$ chéo nhau ⇔ {displaystyle Leftrightarrow } ${displaystyle Leftrightarrow }$ M M ′ → . [ u → ; u ′ → ] ≠ 0 {displaystyle {vec {MM'}}.[{vec {u}};{vec {u'}}]neq 0} ${displaystyle {vec {MM'}}.[{vec {u}};{vec {u'}}]neq 0}$

Cho đường thẳng ( d ) {displaystyle (d)} ${displaystyle (d)}$ đi qua điểm M 0 {displaystyle M_{0}} ${displaystyle M_{0}}$ và có vectơ chỉ phương u → {displaystyle {vec {u}}} ${displaystyle {vec {u}}}$ . Khoảng cách từ điểm M {displaystyle M} ${displaystyle M}$ đến ( d ) {displaystyle (d)} ${displaystyle (d)}$ là d [ M , ( d ) ] = | [ M 0 M → , u → ] | | u → | {displaystyle d[M,(d)]={leftvert [{vec {M_{0}M}},{vec {u}}]rightvert over leftvert {vec {u}}rightvert }} ${displaystyle d[M,(d)]={leftvert [{vec {M_{0}M}},{vec {u}}]rightvert over leftvert {vec {u}}rightvert }}$

Cho 2 đường thẳng chéo nhau ( d ) {displaystyle (d)} ${displaystyle (d)}$ và ( d ′ ) {displaystyle (d')} ${displaystyle (d')}$ . Đường thẳng ( d ) {displaystyle (d)} ${displaystyle (d)}$ có vectơ chỉ phương u → = ( u 1 , u 2 , u 3 ) {displaystyle {vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})} ${displaystyle {vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}$ và đường thẳng ( d ′ ) {displaystyle (d')} ${displaystyle (d')}$ có vectơ chỉ phương u ′ → = ( u 1 ′ , u 2 ′ , u 3 ′ ) {displaystyle {vec {u'}}=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})} ${displaystyle {vec {u'}}=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})}$ . Gọi M ( x , y , z ) {displaystyle M(x,y,z)} ${displaystyle M(x,y,z)}$ là một điểm nằm trên ( d ) {displaystyle (d)} ${displaystyle (d)}$ và M ′ ( x ′ , y ′ , z ′ ) {displaystyle M'(x',y',z')} ${displaystyle M'(x',y',z')}$ là một điểm nằm trên ( d ′ ) {displaystyle (d')} ${displaystyle (d')}$ . Khi đó khoảng cách giữa ( d ) {displaystyle (d)} ${displaystyle (d)}$ và ( d ′ ) {displaystyle (d')} ${displaystyle (d')}$ là

d [ ( d ) , ( d ′ ) ] = | [ u → , u ′ → ] . M M ′ → | | [ u → , u ′ → ] | {displaystyle d[(d),(d')]={leftvert [{vec {u}},{vec {u'}}].{vec {MM'}}rightvert over leftvert [{vec {u}},{vec {u'}}]rightvert }} ${displaystyle d[(d),(d')]={leftvert [{vec {u}},{vec {u'}}].{vec {MM'}}rightvert over leftvert [{vec {u}},{vec {u'}}]rightvert }}$

Đường thẳng

Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10
Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10 Nâng cao
Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12
Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao