2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững
2.1 Lý thuyết cơ bản
Định nghĩa: Parabol là hình dạng đồ thị của hàm số bậc hai. Phương trình chính tắc của parabol có dạng: - Dạng đứng:y=a(x−x0)2+y0y = a(x - x_0)^2 + y_0y=a(x−x0)2+y0, vớia≠0a neq 0a=0 - Dạng chuẩn cơ bản (tâm tại gốc tọa độ):y=ax2y = ax^2y=ax2 Điểm đặc biệt: Đỉnh parabol (x0x_0x0,y0y_0y0), trục đối xứngx=x0x = x_0x=x0, hướng bề lõm xác định bởi dấu củaaaa.
Định lý quan trọng: - Parabol luôn có trục đối xứng song song trụcOyOyOy. - Thông qua đỉnh, có phương trình trục đối xứngx=x0x = x_0x=x0. - Nếua>0a > 0a>0: parabol mở lên;a<0a < 0a<0: parabol mở xuống.
Điều kiện áp dụng: Chỉ áp dụng được với hàm số bậc hai hoặc biểu thức tương đương bậc hai.
2.2 Công thức và quy tắc
- Dạng tổng quát hàm số bậc hai:y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c,a≠0a neq 0a=0.- Để đưa về phương trình chính tắc parabol, cần chuyển về dạngy=a(x−x0)2+y0y = a(x - x_0)^2 + y_0y=a(x−x0)2+y0bằng phép hoàn thành bình phương:
x0=−b2ax_0 = -frac{b}{2a}x0=−2aby0=−Δ4ay_0 = -frac{Delta}{4a}y0=−4aΔ, vớiΔ=b2−4acDelta = b^2 - 4acΔ=b2−4ac
- Hướng mở parabol xác định bởi dấu củaaaa.- Khi vẽ, điểm cần nhớ nhất là đỉnh, trục đối xứng, điểm cắt trục hoành (xxxkhiy=0y=0y=0), điểm cắt trục tung (x=0x=0x=0).
Cách ghi nhớ hiệu quả: Hãy lập sơ đồ các bước chuyển từ tổng quát sang chính tắc, sử dụng lặp lại và làm bài tập thực hành thường xuyên.
3. Ví dụ minh họa chi tiết
3.1 Ví dụ cơ bản
Cho hàm số y=2x2+4x+1y = 2x^2 + 4x + 1y=2x2+4x+1. Hãy vẽ đồ thị parabol của hàm số này.
Bước 1: Đưa về phương trình chính tắc bằng cách hoàn thành bình phương:
y=2x2+4x+1=2(x2+2x)+1=2[(x+1)2−1]+1=2(x+1)2−2+1=2(x+1)2−1y = 2x^2 + 4x + 1 = 2(x^2 + 2x) + 1 = 2[(x+1)^2 - 1] + 1 = 2(x+1)^2 - 2 + 1 = 2(x+1)^2 - 1y=2x2+4x+1=2(x2+2x)+1=2[(x+1)2−1]+1=2(x+1)2−2+1=2(x+1)2−1
Phương trình chính tắc:y=2(x+1)2−1y = 2(x+1)^2 - 1y=2(x+1)2−1
Bước 2: Xác định đỉnh:(−1,−1)(-1, -1)(−1,−1)Trục đối xứng:x=−1x = -1x=−1.
Bước 3: Xác định hướng:a=2>0a = 2 > 0a=2>0nên parabol mở lên.
Bước 4: Xác định điểm cắt trục tung (x=0x=0x=0):y=2.02+4.0+1=1y = 2.0^2 + 4.0 + 1 = 1y=2.02+4.0+1=1, nên điểm (0, 1).
Bước 5: Xác định giao điểm với trục hoành (y=0y=0y=0):
2x2+4x+1=0⇔x2+2x+0.5=02x^2 + 4x + 1 = 0 Leftrightarrow x^2 + 2x + 0.5 = 02x2+4x+1=0⇔x2+2x+0.5=0 ⇒x=−1±22Rightarrow x = -1 pm frac{sqrt{2}}{2}⇒x=−1±22
Như vậy, giao với trục hoành tại hai điểm x=−1+22, x=−1−22x = -1 + frac{sqrt{2}}{2}, x = -1 - frac{sqrt{2}}{2}x=−1+22, x=−1−22.
Bước 6: Vẽ đủ các đặc điểm: đỉnh, trục đối xứng, các giao điểm.
3.2 Ví dụ nâng cao
Cho hàm số y=−x2+6x−7y = -x^2 + 6x - 7y=−x2+6x−7, vẽ đồ thị parabol.
Hoàn thành bình phương:y=−1[x2−6x]−7=−1[(x−3)2−9]−7=−(x−3)2+9−7=−(x−3)2+2y = -1[x^2 - 6x] - 7 = -1[(x-3)^2 - 9] - 7 = -(x-3)^2 + 9 - 7 = -(x-3)^2 + 2y=−1[x2−6x]−7=−1[(x−3)2−9]−7=−(x−3)2+9−7=−(x−3)2+2Phương trình chính tắc: y=−(x−3)2+2y = -(x-3)^2 + 2y=−(x−3)2+2.Đỉnh: (3,2)(3, 2)(3,2). Trục đối xứng x=3x = 3x=3. Parabol mở xuống.Điểm cắt trục tung (0,−7)(0, -7)(0,−7). Giao trục hoành:−x2+6x−7=0⇒x2−6x+7=0-x^2 + 6x - 7 = 0 Rightarrow x^2 - 6x + 7 = 0−x2+6x−7=0⇒x2−6x+7=0Δ=36−28=8⇒x=3±2Delta = 36 - 28 = 8 Rightarrow x = 3 pm sqrt{2}Δ=36−28=8⇒x=3±2.Khi vẽ, chú ý mô tả chiều mở xuống và vị trí các điểm đặc biệt.
4. Các trường hợp đặc biệt
- Parabol có trục đối xứng trùng trục tung:y=ax2y = ax^2y=ax2- Nếu xuất hiện<br/>abla=0<br />abla = 0<br/>abla=0thì đồ thị tiếp xúc trục hoành (đỉnh nằm trên trục hoành)- Với∣a∣|a|∣a∣lớn, parabol khép nhọn,∣a∣|a|∣a∣nhỏ, parabol loe rộng.- Có thể dùng phần mềm GeoGebra để vẽ chính xác các parabol phức tạp.
5. Lỗi thường gặp và cách tránh
5.1 Lỗi về khái niệm
- Nhầm lẫn giữa dạngy=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+cvà y=a(x−x0)2+y0y = a(x - x_0)^2 + y_0y=a(x−x0)2+y0khi vẽ.- Quên xác định đúng hướng mở của parabol (dấuaaa).- Sai trục đối xứng hoặc đỉnh parabol.
Cách phân biệt: Luôn thực hiện phép hoàn thành bình phương để tìm chính xác tọa độ đỉnh, xác định dấuaaa để tránh nhầm lẫn hướng mở.
5.2 Lỗi về tính toán
- Lỗi sai khi hoàn thành bình phương.- Lỗi trong tìm giao điểm với các trục.- Bấm máy tính sai dấu hoặc sai căn bậc hai.Phương pháp kiểm tra: Sau khi tính xong đỉnh và các giao điểm, thay ngược lại vào phương trình để kiểm tra đúng sai.
6. Luyện tập miễn phí ngay
Truy cập bộ sưu tập hơn 100+ bài tập Vẽ parabol theo phương trình chính tắc miễn phí. Không cần đăng ký, bạn có thể luyện tập ngay và theo dõi tiến độ học tập của chính mình. Tự luyện tập thường xuyên sẽ giúp ghi nhớ và vận dụng linh hoạt kiến thức vào các bài toán thực tế!
7. Tóm tắt và ghi nhớ
- Nhớ phân biệt dạng tổng quát và chính tắc của parabol, đặc biệt là khi vẽ.- Vận dụng phép hoàn thành bình phương để xác định đỉnh chính xác.- Tìm các điểm đặc biệt: đỉnh, trục đối xứng, giao các trục.- Kiểm tra lại kết quả vẽ bằng nhiều cách khác nhau (bằng tay, máy tính hoặc phần mềm vẽ).- Checklist ôn tập: Thuộc công thức, làm thành thạo phép biến đổi, tính đúng thương số và dấu củaaaa.
Hi vọng bài viết giúp bạn hiểu rõ về "Vẽ parabol theo phương trình chính tắc" và tự tin giải bất kỳ bài toán liên quan nào trong chương trình Toán lớp 10!
