Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào song song. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm AB, CD. Gọi K, L, M, N lần lượt là trung điểm của AF, CE, BF, DE. Chứng minh rằng tứ giác KLMN là một hình bình hành.

*Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC và BH ⊥ AC.

Hay AH→.BC→=0 và BH→.AC→=0.

Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC.

Với A(-2; 1), B(1; 4), C(5; -2) và H(x; y), ta có:

⦁ AH→=x+2;y−1 và BC→=4;−6.

⇒AH→.BC→=4.x+2−6.y−1=0.

⇔ 4x - 6y = -14

⇔ 2x - 3y = -7 (1)

⦁ BH→=x−1;y−4 và AC→=7;−3.

⇒BH→.AC→=7.x−1−3.y−4=0.

⇔ 7x - 3y = -5 (2)

Trừ vế theo vế của (2) cho (1), ta có: 5x = 2.

⇔x=25.

Thay x=25 vào (1) ta được: 2.25−3y=−7.

⇔3y=395

⇔y=135.

Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC là H25;135.

*Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

Gọi M là trung điểm của BC.

Kẻ đường kính AD. Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên ABD^=ACD^=90°.

Hay BD ⊥ AB, CD ⊥ AC.

Mà BH ⊥ AC, CH ⊥ AB (do H là trực tâm của tam giác ABC).

Suy ra BH // CD, CH // BD.

Khi đó tứ giác BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

Vì vậy hai đường chéo BC và DH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành).

Mà M là trung điểm của BC.

Suy ra M cũng là trung điểm của DH.

Mà I là trung điểm của AD.

Do đó IM là đường trung bình của tam giác AHD.

Suy ra IM // AH và AH = 2.IM (tính chất đường trung bình của một tam giác).

Khi đó hai vectơ AH→,  IM→ cùng phương, cùng hướng và có độ dài AH→=2.IM→.

Vì vậy AH→=2.IM→, với M là trung điểm của BC.

Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Với A(-2; 1), B(1; 4), C(5; -2), H25;135 và I(a; b), ta có:

⦁ AH→=125;85;

⦁ Vì M là trung điểm BC nên xM=1+52=3yM=4+−22=1

Suy ra tọa độ M(3; 1).

⇒IM→=3−a;1−b.

⇒2IM→=6−2a;2−2b.

Ta có AH→=2.IM→ (chứng minh trên).

⇔125=6−2a85=2−2b⇔2a=1852b=25⇔a=95b=15⇒I95;15.

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I95;15.